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✅ 接続チェック
問題 10-100 ✔ 接続状態をおしえてください。前回の「生産力を計測する」という話、むずかしかったですか。
10-100 の回答を + 0/5 ...1点以上 0%
価格ベクトル
前回のまとめ
- 複数の原材料$(a_0,a_1,\cdots)$で一つの生産物$b_i$をつくる生産過程で、生産力が上がったか、さがったか、どのように比較したらよいか。
- 複数の原材料も、その生産過程にさかのぼると、生産物と同じ種類のモノの量に変換できる。
- $$(a_0,a_1,\cdots) \to b_i \implies (0,0,\cdots,a_i,0,\cdots) \to b_i$$ なら、生産力= $b_i/a_i$
- あるいは $$(小麦x, 鉄y) \to 小麦b \implies (小麦x + ky, 鉄0) \to 小麦b$$ なら、生産力は $b/(x+ky)$ で表せる。
- 同じ投入ベクトルの変化でも、小麦では生産力が低下、鉄では生産力が上昇、といった一見パラドキシカルな現象も発生する。
- なぜだろうか?「補助線」を引いて考えてみるのが、今回のネライ。
変換比率
- 前回と同じ数値例を使って、続けて考えてゆこう。
- case1
$$\begin{cases}
\text{小麦生産 } & P : & {\color{red}{(1,1)} } \to (4,0)\\
\text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5)
\end{cases}$$
- case2
$$\begin{cases}
\text{小麦生産 } & P' : & {\color{red}{(1.2,0.8)} }\to (4,0)\\
\text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5)
\end{cases}$$
- 投入はマイナス、産出はプラスと銘記して、つぎのようにベクトルを定めると
$$a_0=(-1,-1),b=(4,0)$$
$$c=(-2,-1),d=(0,5)$$
$$a_1=(-6/5,-4/5)$$
- case1
$$\begin{cases}
P : & a_0 &\to &b\\
Q : & c &\to &d
\end{cases}$$
- case2
$$\begin{cases}
P' : & a_1 &\to & b\\
Q : & c &\to & d
\end{cases}$$
問題 10-1 $$\begin{cases} \text{小麦生産 } & P : & {\color{red}{(1,1)} } \to (4,0)\\ \text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5) \end{cases}$$ が $$\begin{cases} \text{小麦生産 } & P' : & {\color{red}{(6/5,4/5)} }\to (4,0)\\ \text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5) \end{cases}$$ となった。 - つぎのようにベクトルを定める。
- $a_0=(-1,-1),b=(4,0)$
- $c=(-2,-1),d=(0,5)$
- $a_1=(-6/5,-4/5)$
- case1 $$\begin{cases} P : & a_0 &\to &b\\ Q : & c &\to &d \end{cases}$$
- case2 $$\begin{cases} P' : & a_1 &\to & b\\ Q : & c &\to & d \end{cases}$$
- 小麦の生産力を計測するとき、小麦生産のインプット$a_0=(-1,-1)$を、鉄を含まない$(\fbox{ A },0)$に変換した。
- このとき、小麦x量と鉄y量の比率 $x:y=\fbox{ B }:\fbox{ C }$となる。
- A,B,Cに当たる数値を答えよ。
10-1 の回答を + 2/7 ...1点以上 29%
解答と解説 10-1解答 - $$A: -3/2, B:4, C:2$$
- 比率なのでもちろん $$A: -3/2, B:2, C:1$$ などでも可。
解説 - 問題9-1でみたように $$Q:(2,1) \to (0,5)$$ は結果だけみると小麦2を投入して(減らして)、鉄$5-1$を産出する(ふやす)過程とみなすことができる。つまり、 $小麦2\to 鉄4$という比率で小麦を鉄に変換できる。
- だから、鉄1をふやすには、小麦$1/2$減らせばよい、わけです。
- $x:y=2:1$ ということは、変換比率を表す直線$$y=(1/2)x \cdots\cdots l_1$$を想定しているということになります。
問題 10-2 $$\begin{cases} \text{小麦生産 } & P : & {\color{red}{(1,1)} } \to (4,0)\\ \text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5) \end{cases}$$ が $$\begin{cases} \text{小麦生産 } & P' : & {\color{red}{(6/5,4/5)} }\to (4,0)\\ \text{鉄生産 } & Q : & (2,1) \to (0,5) \end{cases}$$ となった。 - つぎのようにベクトルを定める。
- $a_0=(-1,-1),b=(4,0)$
- $c=(-2,-1),d=(0,5)$
- $a_1=(-6/5,-4/5)$
- case1 $$\begin{cases} P : & a_0 &\to &b\\ Q : & c &\to &d \end{cases}$$
- case2 $$\begin{cases} P' : & a_1 &\to & b\\ Q : & c &\to & d \end{cases}$$
- 変換比率を求めたときの鉄生産のネットのベクトル $c+d$ は小麦の量を$x$軸、鉄の量を$y$軸としたとき、どのような直線上にのっているか。直線を表す式を書け。
10-2 の回答を + 4/7 ...1点以上 57%
解答と解説 10-2解答解説 - $c+d=(-2,4)$ だから、このベクトルは原点を通り傾き-2の直線$$y=-2x \cdots\cdots l_2$$上に位置する。
問題 10-3 - 直線$l_1$と$l_2$の関係をひと言で述べよ。
10-3 の回答を + 7/9 ...1点以上 78%
解答と解説 10-3解答解説 - 傾きの積 $(1/2)\times -2 = -1$ により直交。
- つまり、この直交する変換比率を表す直線 $l_1$ が「補助線」になるのです。
- ということで図をかいてみると....
問題 10-4 $$\overline{OG}:\overline{OB} = \fbox{ A } : \fbox{ B }$$ $\fbox{ A }, \fbox{ B }$ を図中の記号を使ってうめよ。overline はつけなくてよい。
10-4 の回答を + 7/11 ...1点以上 64%
解答と解説 10-4 解答 $$\overline{OH}:\overline{OI}$$解説 $$\triangle{OHG} \mathrel{\unicode[sans-serif]{x223D} } \triangle{OIJ}$$
問題 10-5 直線 $l_1$ 上に、長さ1のベクトル $\vec{p}=(p_1,p_2)$ をつくる。 内積 $\vec{p}\cdot\vec{b}$ の値に相当する線分を図の記号を使って示せ。
10-5 の回答を + 2/5 ...1点以上 40%
解答と解説 10-5 解答 $\overline{OJ}$解説 $\angle\mathrm{JOB} = \theta$ とおくと $$\vec{p}\cdot\vec{b} = |\vec{p}|\,|\vec{b}|cos\,\theta =1\times\overline{OB}\,cos\,\theta=\overline{OJ}$$
問題 10-6 内積$(-1,-1)(p_1,p_2)=p_1-p_2$ の絶対値を表す線分を図中の記号でしめせ。
10-6 の回答を + 1/7 ...1点以上 14%
解答と解説 10-6 解答 $\overline{OH}$
問題 10-7 $\overline{OI}\div\overline{OH}$は何を意味するか。
10-7 の回答を + 4/9 ...1点以上 44%
解答と解説 10-7解答 小麦生産における小麦ベースの生産力 解説 - $\overline{OG}:\overline{OB} = \overline{OH}:\overline{OI}$であった。
- 左辺は投入$(-1,-1)$をすべて小麦$(-3/2,0)$に変換して、何倍になったか、比較している。
- 右辺は$(-1,-1)(p_1,p_2)$ と$(4,0)(p_1,p_2)$を比較していることになる。
- どっちも比が同じにある、といっているのだ。
- 小麦に変換するほうは、何をしているか、意味がわかるが、内積を比較する、というのは、何を意味しているのだろうか。
問題 10-8 内積を比較する、というのは、何を意味しているのだろうか。
10-8 の回答を + 1/7 ...1点以上 14%
解答と解説 10-8解答 - 小麦と鉄に異なるウェートをつけている。
- 小麦1を$p_1$と評価し鉄1を$p_2$と評価して足せるとしている。
- 小麦1に$p_1$円という価格をつけ、鉄1に$p_1$円という価格をつけて、内積で合計金額を計算している。
解説 - 解答の3.までくれば、何をしているか、その意味はハッキリしますね。
- 単位は円でなくてもかまわないのです。小麦と鉄の相対的な評価が問題なのですから。また、$\vec{p}$の長さが1である必要もありません。長さが$k$ならすべての価格が$k$倍になるだけです。
- ということは、ある商品の組$Q(x個,y個)$があったとして、それぞれの単価がが$(p_1,p_2)$なら、その総額は$(x,y)(p_1,p_2) =xp_1+yp_2$は、ベクトル$\vec{p}$がのっている直線 $l$ に点Qから下ろした垂線の足になる、ということです。
- いいかえると、直線$l$の垂線上にある商品の組合せ$(x,y)$は、単価が$p_1,p_2$のとき、同じ金額になる、ということです。
問題 10-9 小麦,鉄の単価が$p_1,p_2$のとき、$A(-1,-1)$と$G(-1.5,0)$が同額であったとする。 価格比$p_2/p_1$を求めよ。
10-9 の回答を + 5/8 ...1点以上 63%
解答と解説 10-9解答解説 $$(-1,-1)(p_1,p_2) = (-1.5,0)(p_1,p_2)$$ $$-p_1-p_2=-1.5p_1$$ $$p_2/p_1=1/2$$ - 点Aから直線$y=1/2x$に下ろした垂線の足と、点Gから下ろした垂線の足がともに点Hになっているのがわかるであろう。
- 要するに、(-1,-1)も(-1.5,0)も、$\vec{p}$と内積をつくり、スカラー化すれば、同じ値(金額)になるわけである。
- 商品の単価で構成されたベクトルを価格ベクトルとよぶ。
- 必要がある場合は、その長さが1になるように基準化した価格ベクトルを基準価格ベクトルとよぶ。
11月30日の講義はここからです。
第9講および第10講のここまでは「積み上げ方式」になります。
前の部分がわからないと、30日の講義も理解できません。
しっかり復習しておきましょう。
純生産物の分割
問題 10-10 いま価格ベトルを$\vec{p}=(2,1)$とおく(仮に単位を円とする)。 このとき、鉄生産$(-2,-1) \to (0,5)$ における支出金額、収入金額は、それぞれいくらになるか。
10-10 の回答を + 6/12 ...1点以上 50%
解答と解説 10-10解答 - 支出金額: (2,1)(-2,-1) =-5円
- 収入金額: (2,1)(0,5)=5円
解説 - 「支出=収入」ということは、価格ベースで考えると、利益がでない、ということ。
- $(2,1)(-2,-1) + (2,1)(0,5) = (2,1)(-2,4)$
- $(-2,4)$ というのは $\vec{OF} = \vec{c}+\vec{d}$ です。
- 点Fから $\vec{p}$ がのっている直線に下ろした垂線の足は原点 $O(0,0)$ になります。
- 要するに、$\vec{c}+\vec{d}$ に直交する価格ベクトル $\vec{p}$ というのは、鉄生産で「支出=収入」となるギリギリの価格比だったのです。
- では、このとき、小麦生産の収支は、価格ベースで考えるとどうなるのでしょうか。
問題 10-11 価格ベトルが $\vec{p}=(2,1)$ のとき、小麦生産における利益額(収入ー支出=生産総額-費用総額)を求めよ。
10-11 の回答を + 2/12 ...1点以上 17%
解答と解説 10-11解答解説 $$生産総額-費用総額 = (2,1)(4,0)-(2,1)(1,1)=5$$
問題 10-12 小麦生産Pと鉄生産Qを合わせた社会的再生産が生みだす純生産物のベクトルを求めよ。
10-12 の回答を + 0/11 ...1点以上 0%
解答と解説 10-12解答解説 $$(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{c}+\vec{d})= \vec{OE}+\vec{OF} = (-1,-1) +(4,0) +(-2,-1)+(0,5) = (1,3)$$
問題 10-13 価格ベトルを$\vec{p}=(2,1)$のとき、純生産物の総額はいくらになるか。
10-13 の回答を + 11/13 ...1点以上 85%
解答と解説 10-13解答解説 $$(2,1)(1,3)=5$$
問題 10-14 問題10-10から問題10-14までを通してみて、わかったことをひと言でのべよ。
10-14 の回答を + 0/13 ...1点以上 0%
解答と解説 10-14解答 小麦生産による純生産物の独り占め 解説 - 鉄生産の利益額はゼロ。鉄生産の利益額=純生産物の総価額。
- $小麦生産の利益額 E_1 + 鉄生産の利益額 E_2 = 純生産物総額 E$
- $E_2 = 0 \implies E = E_1$
問題 10-15 小麦生産の利益額がゼロになるような価格ベクトルを求めよ。
10-15 の回答を + 5/11 ...1点以上 45%
解答と解説 10-15解答 $(1,3)$ 解説 $$\vec{a}+\vec{b} = (3,-1)$$ $$(p_1,p_2)(3,-1)=0$$ $$3p_1-p_2=0$$ - たとえば $\vec{p}=(1,3)$であればよい。
- 因みにこのとき $$鉄生産の利益総額 = (1,3)(-2,4)=10$$ $$純生産物の価額 = (1,3)(1,3)=10$$ $$鉄生産の利益総額 = 純生産物の価額$$ で、今度は鉄生産の独り占めになっている。
- 要するに$2 \geqq p_1/p_2 \geqq 1/3$の範囲なら、小麦生産も鉄生産も黒字。
- でも、$ p_1/p_2 \geqq 2$ まで小麦価格が上がると、鉄生産は元が取れず赤字になり、
- 逆に、$ 1/3 \geqq p_1/p_2$ まで小麦価格が下がると、小麦生産は元が取れず赤字になる、というわけです。
- 図解しておきます。
- $\overline{OG}:小麦生産の利益$
- $\overline{OH}:鉄生産の利益$
- $\overline{OI}:純生産物の価額$
- 右下の ▶ ボタンをクリックすると価格ベクトル $\vec{p}$ が変化します。
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