東京理科大学 経済学

2023年度 小幡道昭

• つぎのようにベクトルを定める。
• $a_0=(-1,-1),b=(4,0)$
• $c=(-2,-1),d=(0,5)$
• $a_1=(-6/5,-4/5)$
• case1 $$\begin{cases} P : & a_0 &\to &b\\ Q : & c &\to &d \end{cases}$$
• case2 $$\begin{cases} P' : & a_1 &\to & b\\ Q : & c &\to & d \end{cases}$$

• 小麦の生産力を計測するとき、小麦生産のインプット$a_0=(-1,-1)$を、鉄を含まない$(\fbox{ A },0)$に変換した。
• このとき、小麦x量と鉄y量の比率 $x:y=\fbox{ B }:\fbox{ C }$となる。
• A,B,Cに当たる数値を答えよ。

解答

• $$A: -3/2, B:4, C:2$$
• 比率なのでもちろん $$A: -3/2, B:2, C:1$$ などでも可。

解説

• 問題9-1でみたように $$Q:(2,1) \to (0,5)$$ は結果だけみると小麦2を投入して（減らして）、鉄$5-1$を産出する（ふやす）過程とみなすことができる。つまり、 $小麦2\to 鉄4$という比率で小麦を鉄に変換できる。
• だから、鉄1をふやすには、小麦$1/2$減らせばよい、わけです。
• $x:y=2:1$ ということは、変換比率を表す直線$$y=(1/2)x \cdots\cdots l_1$$を想定しているということになります。

• つぎのようにベクトルを定める。
• $a_0=(-1,-1),b=(4,0)$
• $c=(-2,-1),d=(0,5)$
• $a_1=(-6/5,-4/5)$
• case1 $$\begin{cases} P : & a_0 &\to &b\\ Q : & c &\to &d \end{cases}$$
• case2 $$\begin{cases} P' : & a_1 &\to & b\\ Q : & c &\to & d \end{cases}$$

• 変換比率を求めたときの鉄生産のネットのベクトル $c+d$ は小麦の量を$x$軸、鉄の量を$y$軸としたとき、どのような直線上にのっているか。直線を表す式を書け。

解答

• $y=-2x$

解説

• $c+d=(-2,4)$ だから、このベクトルは原点を通り傾き-2の直線$$y=-2x \cdots\cdots l_2$$上に位置する。

• 直線$l_1$と$l_2$の関係をひと言で述べよ。

解答

• 直交

解説

• 傾きの積 $(1/2)\times -2 = -1$ により直交。
• つまり、この直交する変換比率を表す直線 $l_1$ が「補助線」になるのです。
• ということで図をかいてみると....

$$\overline{OG}:\overline{OB} = \fbox{ A } : \fbox{ B }$$

$\fbox{ A }, \fbox{ B }$ を図中の記号を使ってうめよ。overline はつけなくてよい。

解答

解説

直線 $l_1$ 上に、長さ1のベクトル $\vec{p}=(p_1,p_2)$ をつくる。

内積 $\vec{p}\cdot\vec{b}$ の値に相当する線分を図の記号を使って示せ。

解答

解説

内積$(-1,-1)(p_1,p_2)=p_1-p_2$

解答

$\overline{OI}\div\overline{OH}$は何を意味するか。

解答

小麦生産における小麦ベースの生産力

解説

• $\overline{OG}:\overline{OB} = \overline{OH}:\overline{OI}$であった。
• 左辺は投入$(-1,-1)$をすべて小麦$(-3/2,0)$に変換して、何倍になったか、比較している。
• 右辺は$(-1,-1)(p_1,p_2)$ と$(4,0)(p_1,p_2)$を比較していることになる。
• どっちも比が同じにある、といっているのだ。
• 小麦に変換するほうは、何をしているか、意味がわかるが、内積を比較する、というのは、何を意味しているのだろうか。

内積を比較する、というのは、何を意味しているのだろうか。

解答

1. 小麦と鉄に異なるウェートをつけている。
2. 小麦1を$p_1$と評価し鉄1を$p_2$と評価して足せるとしている。
3. 小麦1に$p_1$円という価格をつけ、鉄1に$p_1$円という価格をつけて、内積で合計金額を計算している。

解説

• 解答の3.までくれば、何をしているか、その意味はハッキリしますね。
• 単位は円でなくてもかまわないのです。小麦と鉄の相対的な評価が問題なのですから。また、$\vec{p}$の長さが1である必要もありません。長さが$k$ならすべての価格が$k$倍になるだけです。

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• ということは、ある商品の組$Q(x個,y個)$があったとして、それぞれの単価がが$(p_1,p_2)$なら、その総額は$(x,y)(p_1,p_2) =xp_1+yp_2$は、ベクトル$\vec{p}$がのっている直線 $l$ に点Ｑから下ろした垂線の足になる、ということです。
• いいかえると、直線$l$の垂線上にある商品の組合せ$(x,y)$は、単価が$p_1,p_2$のとき、同じ金額になる、ということです。

小麦，鉄の単価が$p_1,p_2$のとき、$A(-1,-1)$と$G(-1.5,0)$が同額であったとする。

価格比$p_2/p_1$を求めよ。

解答

• 1/2

解説

• 点Aから直線$y=1/2x$に下ろした垂線の足と、点Gから下ろした垂線の足がともに点Hになっているのがわかるであろう。
• 要するに、(-1,-1)も(-1.5,0)も、$\vec{p}$と内積をつくり、スカラー化すれば、同じ値（金額）になるわけである。
• 商品の単価で構成されたベクトルを価格ベクトルとよぶ。
• 必要がある場合は、その長さが1になるように基準化した価格ベクトルを基準価格ベクトルとよぶ。

いま価格ベトルを$\vec{p}=(2,1)$とおく（仮に単位を円とする）。

このとき、鉄生産$(-2,-1) \to (0,5)$ における支出金額、収入金額は、それぞれいくらになるか。

解答

• 支出金額: (2,1)(-2,-1) =-5円
• 収入金額: (2,1)(0,5)=5円

解説

• 「支出＝収入」ということは、価格ベースで考えると、利益がでない、ということ。
• $(2,1)(-2,-1) + (2,1)(0,5) = (2,1)(-2,4)$
• $(-2,4)$ というのは $\vec{OF} = \vec{c}+\vec{d}$ です。
• 点Fから $\vec{p}$ がのっている直線に下ろした垂線の足は原点 $O(0,0)$ になります。
• 要するに、$\vec{c}+\vec{d}$ に直交する価格ベクトル $\vec{p}$ というのは、鉄生産で「支出＝収入」となるギリギリの価格比だったのです。
• では、このとき、小麦生産の収支は、価格ベースで考えるとどうなるのでしょうか。

価格ベトルが $\vec{p}=(2,1)$ のとき、小麦生産における利益額（収入ｰ支出＝生産総額-費用総額）を求めよ。

解答

$5円$

解説

小麦生産Ｐと鉄生産Ｑを合わせた社会的再生産が生みだす純生産物のベクトルを求めよ。

解答

$(1,3)$

解説

価格ベトルを$\vec{p}=(2,1)$のとき、純生産物の総額はいくらになるか。

解答

$5円$

解説

問題10-10から問題10-14までを通してみて、わかったことをひと言でのべよ。

解答

小麦生産による純生産物の独り占め

解説

• 鉄生産の利益額はゼロ。鉄生産の利益額＝純生産物の総価額。
• $小麦生産の利益額 E_1 + 鉄生産の利益額 E_2 = 純生産物総額 E$
• $E_2 = 0 \implies E = E_1$

小麦生産の利益額がゼロになるような価格ベクトルを求めよ。

解答

解説

• たとえば $\vec{p}=(1,3)$であればよい。
• 因みにこのとき $$鉄生産の利益総額 = (1,3)(-2,4)=10$$ $$純生産物の価額 = (1,3)(1,3)=10$$ $$鉄生産の利益総額 = 純生産物の価額$$ で、今度は鉄生産の独り占めになっている。
• 要するに$2 \geqq p_1/p_2 \geqq 1/3$の範囲なら、小麦生産も鉄生産も黒字。
• でも、$ p_1/p_2 \geqq 2$ まで小麦価格が上がると、鉄生産は元が取れず赤字になり、
• 逆に、$ 1/3 \geqq p_1/p_2$ まで小麦価格が下がると、小麦生産は元が取れず赤字になる、というわけです。

• 図解しておきます。
• $\overline{OG}:小麦生産の利益$
• $\overline{OH}:鉄生産の利益$
• $\overline{OI}:純生産物の価額$
• 右下の ▶ ボタンをクリックすると価格ベクトル $\vec{p}$ が変化します。